?

Log in

Разделение точек в ультраметрическом пространстве полиномами ограниченной степени - Сообщество математиков-профессионалов [entries|archive|friends|userinfo]
Сообщество математиков-профессионалов

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

Разделение точек в ультраметрическом пространстве полиномами ограниченной степени [Feb. 22nd, 2010|11:19 am]
Сообщество математиков-профессионалов

ru_mathresearch

[zhecka]
Рассмотрим кольцо K формальных степенных рядов от одной переменной с комплексными коэффициентами: K=C[[z]].

Пусть $f=(z,f_1,...,f_n)\in K^{n+1}$ некоторая точка пространства $n+1$. Пусть P(X_0,...,X_n)\in C[a_m \mid m\in M][X_0,...,X_n] -- полином от n+1-ой переменной $X_0,...,X_n$ степени d с неопределенными коэффициентами (то есть он является суммой всех возможных мономов степени не больше d от переменных $X_i$ и при каждом таком мономе m в качестве коэффициента стоит некоторая переменная $a_m$; здесь M обозначает множество мономов степени не более $d$). Всего мономов степени не больше d ровно $\binom{d+n}{n}$ штук. Мы можем рассмотреть отображение из вектора коэффициентов $(a_m)_{m\in M}\in C^{\card M}$ в $K=C[[z]]$ (последнее мы будем рассматривать как векторное пространство над C) устроенное очень просто: мы будем брать P с конкретными значениями коэффициентов $a_m$ и просто вычислять $P(z,f_1,...,f_n)\in C[[z]]$. Допустим, мы интересуемся значениями коэффициентов полинома P, что $\ord_{z=0}P(z,f_1,...,f_n)\geq \frac{d^{n}}{10 n!}$. Простой подсчет размерностей векторных пространств показывает теперь, что соответствующие вектора коэффициентов $(a_m)$ образуют векторное пространство размерности не меньше $\frac{9 d^{n}}{10 n!}$.

Теперь немного усложним ситуацию. Добавим еще одну точку $K^{n+1}$: $g=(z,g_1,...,g_n)\in K^{n+1}$ и теперь попробуем (для больших значений $d$) построить хотя бы один полином (для каждого достаточно большого значения d) такой, чтобы он по-прежнему имел большой порядок нуля в f, т.е. удовлетворял \ord_{z=0}P(z,f_1,...,f_n)\geq \frac{d^{n}}{10 n!}$, а в точке $g$, наоборот, имел порядок нуля не превосходящей некоторой константы независящей от $d$: \ord_{z=0}P(z,g_1,...,g_n)\leq C$.

Вопрос -- можно ли осуществить такую конструкцию, или при каких гуманных дополнительных условиях она реализуема. Число 10 в оценке $\ord_{z=0}P(z,f_1,...,f_n)\geq \frac{d^{n}}{10 n!}$ можно, конечно же, заменить при желании на какую-нибудь более удобную константу, если захочется.
linkReply