?

Log in

точно 2-транзитивные группы - Сообщество математиков-профессионалов [entries|archive|friends|userinfo]
Сообщество математиков-профессионалов

[ userinfo | livejournal userinfo ]
[ archive | journal archive ]

точно 2-транзитивные группы [Jan. 25th, 2010|12:52 pm]
Сообщество математиков-профессионалов

ru_mathresearch

[flaass]
(для гугла: "sharply 2-transitive groups")
Хочу напомнить про эту нерешенную задачу.

Группа подстановок множества X 2-транзитивна, если для любых элементов a#b, c#d из X найдется элемент группы, переводящий a в c, и b в d. Если он всегда находится однозначно, то группа точно 2-транзитивна. В частности, любой ее неединичный элемент оставляет на месте не больше одной точки.

Если |X|=n конечно, то такие группы все известны (Цассенхауз; доказательство есть в книге Huppert, Blackburn, Finite Groups III, глава XII.9; есть в колхозе). Устроены они очень приятно: порядок, очевидно, n(n-1), элементы без неподвижных точек вместе с единицей образуют нормальную подгруппу H порядка n, а все, что вне нее, очевидно, покрывается стабилизаторами точек. H действует на X точно транзитивно, а стабилизатор любой точки действует (сопряжениями) точно транзитивно на неединичных элементах H.

А вот если X бесконечно, наступает кирдык. Во-первых, бывают примеры, ведущие себя не совсем хорошо: нормальная подгруппа, точно транзитивная на X, есть, но некоторые элементы без неподвижных точек в нее не попадают. Во-вторых, гипотеза, что такая подгруппа непременно найдется, до сих пор не доказана и не опровергнута.

Последние хоть какие-нибудь продвижения, насколько я знаю, были в начале 70х.
linkReply

Comments:
[User Picture]From: qui_vadis
2010-01-25 07:57 am (UTC)
А почему под замком?
(Reply) (Thread)
[User Picture]From: flaass
2010-01-25 08:06 am (UTC)
По ошибке. Почему-то умолчанием стояло "для участников". Исправил.
(Reply) (Parent) (Thread)